Green-Funktion

Green-Funktion

 

['griːn-; nach G. Green],

 

 1) mathematische Physik: Einflussfunktion, Elementarlösung, eine bei der Lösung einer mit einem linearen Differenzialoperator L_x gebildeten Differenzialgleichung L_x u(x) = - q(x) oder eines Anfangs- beziehungsweise Randwertproblems verwendete Funktion G(x, x'), mit der sich die gesuchte Lösung u(x) in Form eines Faltungsintegrals explizit angeben lässt:

 

Dabei ist u⁽⁰⁾ eine durch die Anfangs- beziehungsweise Randbedingungen festgelegte Lösung der homogenen Differenzialgleichung L_x u⁽⁰⁾(x) = 0 in den zum Vektor x zusammengefassten Variablen x₁, x₂,. .., x_n (bei physikalischen Problemen meist die Raumkoordinaten und die Zeit) und q(x) eine vorgegebene, meist Quellen eines Feldes beschreibende so genannte Quellfunktion (integriert wird über die Variablen aller Quellpunkte x'). Die von den Aufpunkten x und den Quellpunkten x' abhängige Green-Funktion des zu lösenden Problems ist eine die Anfangs- beziehungsweise Randbedingungen erfüllende Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung L_x G(x, x') = — δ (x — x'), wobei δ (x — x') die diracsche Deltafunktion (Deltafunktional) des betrachteten Variablenraums ist. Sie liefert den Einfluss einer im Quellpunkt x' befindliche Quelle der Intensität 1 auf den Aufpunkt x und ist als Funktion von x überall außer im Punkt x = x', wo sie eine Singularität besitzt, Lösung der homogenen Gleichung L_x u = 0 (mit gleichen Randbedingungen).

 

 2) Quantenphysik: in der Quantenfeldtheorie auch als Zweipunktfunktion P(x — x') oder feynmanscher Propagator bezeichneter Vakuumerwartungswert eines zeitgeordneten Produktes von zwei an verschiedenen Punkten genommenen Feldoperatoren ϕ(x) und ϕ(x'). Für ein skalares, neutrales, hermitesches Feld (Klein-Gordon-Feld) ist die Green-Funktion definiert als L_xP(x — x') = <0|T [ϕ(x) ϕ(x')]|0>, wobei |0> der Vakuumzustand des zugehörigen Hilbert-Raumes, ϕ der Feldoperator und der Term T[...] das zeitgeordnete Produkt ist.

 

Die Bedeutung der Green-Funktion besteht darin, dass man die Matrixelemente der S-Matrix beziehungsweise des Streuoperators für die verschiedenen Streuprozesse von Elementar- beziehungsweise Quasiteilchen durch sie ausdrücken kann und dass sie die dynamischen Eigenschaften des betrachteten mikrophysikalischen Systems beschreiben. Eine spezielle Green-Funktion ist die Ausbreitungsfunktion.